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Einlagenzertifikate (CDs) enthalten einfache und zusammengesetzte Zinsen. Zinseszinsen sind für den Kreditgeber rentabler, wenn die Laufzeit der CD länger ist als die Zinseszinsperiode. Wir sehen die systematische "Mechanik" des Compoundierens sowie den Vorteil einer kürzeren Compoundierzeit. Bei der Berechnung von Zinserträgen ist Präzision erforderlich. Exponenten können winzige numerische Unterschiede bis zur Uneinigkeit darüber, wie viel sie schuldet, verstärken.
Einfaches Interesse
Nicht zusammengesetzte Zinsen oder einfache Zinsen berechnen den Prozentsatz basierend auf der ursprünglichen Einzahlung. Wenn eine CD einen einfachen Zinssatz von 5 Prozent (r = 0,05) hat und die CD-Laufzeit zehn Jahre beträgt (t = 10), würde die anfängliche Einzahlung (Principal, P) den endgültigen Gewinn (F) durch die Formel F = P_r_t ergeben. wenn P = 1000, r = 0,05, t = 10; dann ist F = 1000_0,05_10 = 500. Am Ende der CD erhält der Kreditgeber 500 $. Der Gesamtbetrag beträgt 1.000 + 500 = 1.500 USD.
Zinseszins
Wenn alle anderen Faktoren gleich sind, zahlen sich Zinseszinsen mehr aus als einfache Zinsen. Es sei r = 0,05 und der ursprünglich investierte Betrag beläuft sich auf 1.000 USD. Gleiche zehnjährige CD-Laufzeit. Wie zuvor ist P = 1000, r = 0,05, t = 10. Die allgemeine Formel für die endgültige Empfangsmenge ist etwas komplexer: F = P (1 + r) ^ t. Durch Ersetzen der angegebenen Werte wird die Gleichung zu F = 1000 (1,05 10) = 1000 * 1,6289 = 1.628,89 $. Bei Zinseszinsen betrug der Gewinn über zehn Jahre 628,89 US-Dollar anstelle von 500 US-Dollar. Der Grund ist, dass der Zinssatz auf vorher gewonnenen Zinsen basiert.
Mischungsmechanik
Im ersten Jahr gibt es keinen Unterschied. 1000 0,05 = 50, also 50 $ gewonnen. Im zweiten Jahr wirkt sich die 5-Prozent-Rate jedoch auf die 1050 USD aus, nicht auf die erste Einzahlung von 1.000 USD. Nach zwei Jahren beträgt der Gewinn 1050 0,05 = 52,5, so dass der Gesamtbetrag nach zwei Jahren 1050 + 52,5 = 1,102,50 $ beträgt. Bei einfachem Interesse hätte die CD zu diesem Zeitpunkt nur 1.100 US-Dollar. In ähnlicher Weise wirkt der Zinssatz nach drei Jahren auf 1.102,50 und ergibt 1102,50 * 0,05 = 55,125. 1102.50 + 55.125 = 1.157.625 oder 1.157.63 USD auf dem Konto. Ein einfaches Interesse würde 1.150,00 $ ergeben. Der Compoundierungsvorteil vergrößert sich mit der Zeit.
Compounding-Zeiträume
Wir wissen, dass bei einer Jahresrate von 5 Prozent aus 1.000 USD 1.050,00 werden. Wenn das Geld monatlich aufgelöst wird, wird der Satz durch 12 geteilt (5/12 = 0,004167), und die Zeit „t = 1“ wird als t / 12 oder 1/12 ausgedrückt. Die neue Formel zum Zusammensetzen wäre F = P (1 + r / 12) ^ (t / 12). Daher ist F = 1000 (1.004167 ^ 1/12). F = 1000 * (1.00034) = 1000.3465. Auf den nächsten Cent gerundet, ergibt die vierteljährliche Aufzinsung 1.000,35 $. Ein kleiner Unterschied, der sich über Jahre und Jahrzehnte noch einmal verschärft, kann jedoch erheblich werden.
Präzision in Berechnungen
Bei den obigen Berechnungen wurden Dezimalzahlen fünf oder sechs Stellen über den Dezimalpunkt hinaus übertragen. Obwohl "echtes Geld" auf einen Cent genau ist, können Exponenten sogar einen kleinen Unterschied vergrößern. Um die Genauigkeit und die klare Kommunikation darüber zu erhalten, wie viel ein Kreditgeber erwartet - insbesondere bei Zinseszinsen - erwartet, müssen Berechnungen mit weit mehr Dezimalstellen durchgeführt werden als die beiden, die für die Gewährung von Genauigkeit zum Penny erforderlich sind.